解析学の分野からメンバーと相談の上テーマを選びます。 どちらかと言えば解析学の理論的側面より応用を重視したいと思います。 候補としては次のようなテーマを考えています。 いずれのテーマでも、予備知識はそれほど必要ありませんが 1年次必修科目の「解析学序論」で勉強した内容は前提とします。 2年次の「解析学概論」も履修していることが望ましいです。 微分方程式をテーマとする場合は、「解析学の応用」も 履修していると好都合です。 また1年次の「線形代数学」の内容も 使うかもしれません。 コンピュータや物理についての予備知識は不要です。
音や光などの振動現象を分析するための数学的な手法をフーリエ解析 といいます。複雑な振動現象を単振動と呼ばれる簡単な振動に分解します。 単振動はサインやコサインで表されるので、数学的には、複雑な関数を サインとコサインを使って調べることに相当します。これがフーリエ解析です。 ゼミでは、まず数学としてのフーリエ解析の初歩を学習し、 次にフーリエ解析の音声信号処理や画像処理などへの応用について 実際にMATLABなどのコンピュータソフトを用いながら実践的に学習します。
解析学概論で勉強した偏微分や重積分の発展として、 ベクトル値関数の微積分について勉強します。 たとえば、ベクトル値関数を空間内の曲線や曲面の上で積分することを考えます。 ベクトル解析は物理学、特に電磁気学の理解には必要不可欠な概念です。 逆に物理的な意味付けを知ることによりベクトル解析への理解が深まります。 このテーマの場合はテキストの講読が中心になります。
未知関数とその導関数についての方程式を微分方程式と言います。 自然現象や社会現象を数量的にモデル化（法則化） すると多くの場合、 微分方程式になります。微分方程式は簡単な場合には具体的な式で（紙と鉛筆で） 解けます。それを求積法といいます。 まずは微分方程式をいくつかのタイプに分けて、タイプ別に解法を 勉強します。(ここまでは「解析学の応用」の内容とかなり重複します。） ところが、微分方程式が複雑になると具体的に解くことはできなくなります。 そこでコンピュータを用いて数値的（近似的）に解くことが必要になります。 このような方法は、いろいろな現象のシミュレーションのために実社会でも広く 応用されています。 ここでは、差分法（数列の漸化式）を用いる数値解法を学んで、 実際にプログラムを作成します。